CALCULO DE ÁREAS
 Sea f una función cuyo dominio esta en el intervalo cerrado [a, b], tal que f(x) ≥ 0 para x ∈ [a, b]. Sea R la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: y = f(x), y = 0 (eje x), x = a, x =b.
 Área de una región comprendida entre dos curvas.
Sean f y g dos funciones con dominio en el intervalo [a, b], tales que f(x) ≥ g(x) para x ∈ [a, b]. Vamos a determinar cual es el área de la región R limitada por las gráficas de y = f(x), y = g(x), x = a, x = b que se muestra a continuación: Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de R.

ÁREA BAJO UNA CURVA

Teorema fundamental del cálculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces
la integral .
 F (b) – F (a).
 En donde F es cualquier función tal Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si entonces existe una integral definida al área bajo la curva descrita por ejemplo .Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [2, 5]. 4dx = aplicamos la fórmula 2. 4 dx = aplicamos la fórmula = evaluamos los límites. 4(5)+ C– [4(2) +C]= cancelamos las constantes. 20+ C – 8–C= 20 – 8= 12u2
Nota: En una integral definida la constante de integración desaparece al efectuar la diferencia de los límites de integración. Área bajo la curva y la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la integral  de  F(b) – F(a) Cualquier función tal que F(x)= para toda Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si f es una función continua en [a, b], entonces existe una integral definida . El resultado de dicha integral será igual descrita por f(x) representada en un plano.
LONGITUD DE ARCO
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función  y su respectiva derivada  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

LONGITUD DE UNA CURVA 

La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos peque˜nos, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos mas puntos escojamos en C, mejor ser´a el valor obtenido como aproximacion de la longitud de C.

Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría.