jueves, 10 de diciembre de 2015

DELMAN DARINEL CRUZ MARROQUIN
                                                            CALCULO INTEGRAL
                                                                     UNIDAD 4
SERIE GEOMÉTRICA:
En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.
Por ejemplo la serie
\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots \,+\, \frac{1}{2^n}
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por \frac{1}{2}.
RAZÓN COMÚN:
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común r.
  • Si |r| < 1\  los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
  • Si  |r| > 1\  los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificante mente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades auto similares de la serie.
FORMULA:
Para r\neq 1, la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:
a + ar + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = a \, \frac{1-r^{n}}{1-r}
donde a es el primer término de la serie y r la razón común.






Ejemplo:
Dada la suma de la serie geométrica:
s \;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots
La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:
\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots
Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Retándolas, se obtiene:
s \,-\, \tfrac23s \;=\; 1 , por lo que s=3\ .
Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión auto similar.
CONVERGENCIA:
La serie geométrica real de término inicial a \in \R no nulo y de razón r \in \R es convergente si y solamente si |r|< 1. En tal caso, su suma vale:
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}
DEFINICIÓN DE SERIE:

Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión.
Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series 
1+4+9+16+25
Cuando el numero de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el numero de términos es ilimitado, la secesión o serie se llama una sucesión infinita o una serie infinita. 

El termino general o termino enésimo es una expresión que indica la ley de la formación de los términos
SERIE FINITA:
Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de cauchy.

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

 serie Infinita.


Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Mas formal mente una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1 ,a2 ,a3,...., simplemente por {an}

Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en

1, 4, 7, 10, 13, ....

mediante una formula explicita para el n-enésimo termino, como en

an = 3n-2,   n ≥ 1
por definición y la fórmula binomial.

TIPOS DE SERIES:

Sumas parciales:
Para cualquier sucesión matemática \{a_n\} de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:
La sucesión de sumas parciales \{S_k\}\  asociada a una sucesión \{a_n\}\  está definida para cada k\  como la suma de la sucesión \{a_n\}\  desde a_1\  hasta a_k\ :




Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia:

Por definición, la serie \sum_{i=1}^{\infty} a_i converge al límite L\  si y sólo si la sucesión de sumas parciales asociada S_k converge a L\ . Esta definición suele escribirse como





Las series de potencias:
 Una serie del tipo: 
a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 +K+ an x n +K
 ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes , , , , , . a0 a1 a2 K an K constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias.
 A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+a3(x-a)3+....+an(x-a)n


SERIE DE TAYLOR:

Definición : La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: 






que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:



donde:
  • n! es el factorial de n
  • f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0! son ambos definidos como 1 (0! = 1).                                
  BESSEL:
En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:





donde \alpha es un número real o complejo. El caso más común es cuando \alpha es un entero n , aunque la solución para \alpha no enteros es similar. El número \alpha se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones lineal mente independientes.
Aunque \alpha y - \alpha dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro \alpha son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de La place en coordenadas cilíndricas.

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miércoles, 18 de noviembre de 2015


 CALCULO DE ÁREAS
 Sea f una función cuyo dominio esta en el intervalo cerrado [a, b], tal que f(x) ≥ 0 para x ∈ [a, b]. Sea R la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: y = f(x), y = 0 (eje x), x = a, x =b.
 Área de una región comprendida entre dos curvas.
Sean f y g dos funciones con dominio en el intervalo [a, b], tales que f(x) ≥ g(x) para x ∈ [a, b]. Vamos a determinar cual es el área de la región R limitada por las gráficas de y = f(x), y = g(x), x = a, x = b que se muestra a continuación: Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de R.

ÁREA BAJO UNA CURVA

 Teorema fundamental del cálculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces
la integral .
 F (b) – F (a).
 En donde F es cualquier función tal Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si entonces existe una integral definida al área bajo la curva descrita por ejemplo .Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [2, 5]. 4dx = aplicamos la fórmula 2. 4 dx = aplicamos la fórmula = evaluamos los límites. 4(5)+ C– [4(2) +C]= cancelamos las constantes. 20+ C – 8–C= 20 – 8= 12u2
Nota: En una integral definida la constante de integración desaparece al efectuar la diferencia de los límites de integración. Área bajo la curva y la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la integral  de  F(b) – F(a) Cualquier función tal que F(x)= para toda Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si f es una función continua en [a, b], entonces existe una integral definida . El resultado de dicha integral será igual descrita por f(x) representada en un plano.
LONGITUD DE ARCO
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Al considerar una curva definida por una función  f \left ( x \right )  y su respectiva derivada  f' \left ( x \right )  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx
LONGITUD DE UNA CURVA 
La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos peque˜nos, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos mas puntos escojamos en C, mejor ser´a el valor obtenido como aproximacion de la longitud de C.

Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría.
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CALCULO INTEGRAL 
UNIDAD 3
DELMAN DARINEL CRUZ MARROQUIN

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES 
La integral definida es un método rápido para calcular áreas volúmenes longitudes etc.

 APLICACIONES
CALCULO DE ÁREAS PLANAS.
es un generalizador del proceso del calculo de áreas. ahora bien el área de un recinto es siempre positivo mientras que la integral puede ser positivo y negativo o nula.
CALCULO DE VOLÚMENES
al introducir la integración el área solamente es una de las muchas aplicaciones de la integral definida orta aplicación importante lo tenemos en uso para calcular el volumen de un solido tridimensional.
si una región de un plano gira alrededor de un eje de ese mismo plano se obtiene una región tridimensional llamada solido de una revolución.
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE UNA REVOLUCIÓN
si se gira la gráfica de una función continua alrededor de una recta la recta resultante se conoce como superficie de revolución.
para calcular el área de una superficie de revolución usamos  la formula de la superficie lateral de un tronco de cono circular recto.






 Longitud de una curva
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.Al considerar una curva definida por una función  f \left ( x \right )  y su respectiva derivada  f' \left ( x \right )  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como  x = f \left ( t \right )  e  y = g \left ( t \right ) , la longitud del arco desde el punto (f(a), g(a)) \, hasta el punto (f(b), g(b))\, se calcula mediante:
(2)s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt

Área bajo una curva
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto deintegral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.
Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales viene dada por:
ÁREA = ∫ f(x)dx
Longitud de una curva.
Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si tenemos dos puntos del plano a=(a1y a2) y B = (b1y b2,) la longitud del segmento AB es, según el teorema de pitagoras.


 Cálculo de los centroides
En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.
Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.
Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.
Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.
El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.


Centroides por integración. El centroide de un área limitada por curvas analíticas (curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales  ∫ x A = x dA integral     A y = y dA 

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